Scalar Projection, Vector Projection, Scalar Rejection and Vector Rejection
Definitions based on angle $\theta$
（1）标量投影（Scalar projection）1
向量$\boldsymbol{a}$对向量$\boldsymbol{b}$的标量投影定义为：
\[a_1=\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\cos\theta\]其中$\theta$为向量$\boldsymbol{a}$和向量$\boldsymbol{b}$之间的夹角。
（2）向量投影（Vector projection）
向量$\boldsymbol{a}$对向量$\boldsymbol{b}$的向量投影定义为：
\[\boldsymbol{a}_1=a_1\hat{\boldsymbol{b}}=(\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\cos\theta)\hat{\boldsymbol{b}}\]其中，$\hat{\boldsymbol{b}}$是与向量$\boldsymbol{b}$同方向的单位向量。可以看到，标量投影是相应的向量投影的模长。
（3）Vector rejection
向量$\boldsymbol{a}$对向量$\boldsymbol{b}$的Vector rejection定义为：
\[\begin{split} \boldsymbol{a}_2&=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}_1\\ &=\boldsymbol{a}-(\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\cos\theta)\hat{\boldsymbol{b}} \end{split}\]（4）Scalar rejection
同样地，Scalar rejection定义为Vector rejection的模长：
\[a_2=\vert\vert\boldsymbol{a}_2\vert\vert\]并且从几何的角度可以很容易地推导出：
\[a_2=\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\sin\theta\]Definitions in terms of $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$
在有些情况下，角度$\theta$未知，我们需要基于向量$\boldsymbol{a}$和向量$\boldsymbol{b}$的计算出角度$\theta$（根据点积的定义 2）：
\[\cos\theta=\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\ \vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert}\]因此，直接基于向量$\boldsymbol{a}$和向量$\boldsymbol{b}$定义上述四个量是更加方便的。
（1）标量投影（Scalar projection）
\[a_1=\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\cos\theta=\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert}\]（2）向量投影（Vector projection）
\[\boldsymbol{a}_1=a_1\hat{\boldsymbol{b}}=\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert}\dfrac{\boldsymbol{b}}{\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert}\]等价于：
\[\boldsymbol{a}_1=\langle\boldsymbol{a},\hat{\boldsymbol{b}}\rangle\hat{\boldsymbol{b}}\]或者：
\[\boldsymbol{a}_1=\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert^2}\boldsymbol{b}=\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle}\boldsymbol{b}\]（3）Scalar rejection
记向量$\boldsymbol{b}=(b_x,b_y)$的正交向量为$\boldsymbol{b}^\perp=(-b_y,b_x)$，则Scalar rejection可以写作：
\[a_2 =\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\sin\theta =\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}^\perp\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\ \vert\vert\boldsymbol{b}^\perp\vert\vert} =\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}^\perp\rangle}{\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\vert}\]其中，点积$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}^\perp$也被称作垂直点积（perp dot product）。
（4）Vector rejection \(\begin{split} \boldsymbol{a}_2&=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}_1\\ &=\boldsymbol{a}-\dfrac{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}{\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle}\boldsymbol{b} \end{split}\)
Added on Nov. 2, 2023: The notions of vector projection and vector rejection are used in Gram-Schmidt Process, which could be found in 3.
基于向量$\boldsymbol{a}$和向量$\boldsymbol{b}$的定义在编程时更方便计算。以向量$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(0.4,1.6)$进行验证：
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clc,clear,close all
hold(gca,"on")
box(gca,"on")
grid(gca,"on")
axis(gca,"equal")
vecA = [1,1];
vecB = [0.4,1.6];
vecA1 = (vecA*vecB')/(vecB*vecB')*vecB;
vecA2 = vecA-(vecA*vecB')/(vecB*vecB')*vecB;
scatter3(0,0,0,50, ...
'filled','o','MarkerFaceColor','k','HandleVisibility','off')
q1 = quiver(0,0,vecA(1),vecA(2), ...
'LineWidth',1.5,'AutoScale','off','DisplayName','$a$');
q2 = quiver(0,0,vecB(1),vecB(2), ...
'LineWidth',1.5,'AutoScale','off','DisplayName','$b$');
q3 = quiver(0,0,vecA1(1),vecA1(2), ...
'LineWidth',1.5,'AutoScale','off','DisplayName','$a_1$, Vector projection');
q4 = quiver(vecA1(1),vecA1(2),vecA2(1),vecA2(2), ...
'LineWidth',1.5,'AutoScale','off','DisplayName','$a_2$, Vector rejection');
legend('Interpreter','latex')
References