Skew-Symmetric Matrix and its Properties
May. 09, 2023
Skew-symmetric Matrix
斜对称矩阵（skew-symmetric matrix），或者称为反对称矩阵（antisymmetric or antimetric matrix）定义为 [1]：
\[A\text{ is skew-wymmetric}\iff A^T=-A\]例如，矩阵：
\[A= \begin{bmatrix} 0&2&-45\\ -2&0&-4\\ 45&4&0\\ \end{bmatrix}\]就是一个斜对称矩阵。
在MATLAB中，可以通过issymmetric函数判断矩阵是否为斜对称矩阵：
1
2
3
4
A = [0,2,-45;
-2,0,-4;
45,4,0];
issymmetric(A,'skew')
1
2
3
ans =
logical
1
The Properties of Skew-symmetric Matrix
斜对称矩阵具有以下的性质：
（1）两个斜对称矩阵的和仍然是斜对称矩阵；
（2）标量乘以斜对称矩阵仍然是斜对称矩阵；
（3）斜对称矩阵的对角线元素均为0（因为要满足定义），因此斜对称矩阵的迹等于0；
（4）如果矩阵$A$是实斜对称矩阵，并且$\lambda$是一个实特征值，则$\lambda=0$，即：一个斜对称矩阵的非零特征值一定是非实数（nonzero eigenvalues of a skew-symmetric matrix are non-real）；
（5）如果矩阵$A$是实斜对称矩阵，则矩阵$I+A$一定可逆；
（6）如果矩阵$A$是斜对称矩阵，则$A^2$是一个对称负半定矩阵（symmetric negative semi-definite matrix）；
References