Analytic Function and Analytic Continuation
A Example of Analytic Continuation
Derbyshire在Prime Obsession中提到了这样一个例子 [1]。对于无穷级数：
\[S(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n\label{eq1}\]（1）当$x\in(-1,1)$时，式$\eqref{eq1}$可以看作是一个等比数列的无穷和，收敛于：
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1-x^n}{1-x}=\dfrac1{1-x}\label{eq2}\]（2）当$x\ge1$时，$S(x)$是发散的；
（3）当$x=-1$时：
\[S(-1)=1-1+1-1+1-1+\cdots\]如果取偶数个和项，和为0；如果取奇数个和项，则和为1。这个式子既不走向无穷大，但也不是收敛的，但是数学家们将其看作是发散的一种形式。
（4）当$x=-2$时：
\[S(-2)=1-2+4-8+16-32+\cdots\]它似乎是同时走向两个方向的无穷大，也被视作是发散的一种形式。
综上所述，只有当$x\in(-1,1)$时，$S(x)$才是收敛的，才具有值，除此之外$S(x)$都是发散的，即$S(x)$的定义域为$(-1,1)$。
另一方面，我们可以将式$\eqref{eq1}$写作：
\[S(x)=1+x(1+x+x^2+\cdots)=1+xS(x)\]进而解出：
\[S(x)=\dfrac{1}{1-x}\]当$x\in(-1,1)$时，我们可以验证这一结果的正确性（它与之前我们通过计算等比数列无穷项之和得到的结果$\eqref{eq2}$是一致的）。
但是，级数$S(x)$和函数$1/(1-x)$并不是一回事，因为它们具有不同的定义域：
- $S(x)$的定义域为$x\in(-1,1)$；
- 函数$1/(1-x)$的定义域为$x\in\mathbb{R},x\neq1$；
这件事的意义在于：一个无穷级数可能只定义了一个函数的一部分（an infinite series might define only part of a function）；或者用专业的数学术语来说，一个无穷级数可能仅在一个函数的部分定义域上定义了这个函数（an infinite series may define a function over only part of its domain）。这个函数的其余部分可能被藏在某个地方，等待被用某种技巧来发现，就像我们用于$S(x)$的技巧一样（The rest of the function might be lurking away somewhere, waiting to be discovered by some trick like the one I did with $S(x)$。
虽然Derbyshire在书中并没有明确地指出这一数学技术的专业术语是什么，但是我感觉这就是解析延拓，因此，下面就简单整理了一下Wikipedia中关于解析函数和解析延拓的描述。
Analytic Function and Analytic Continuation
Analytic function
解析函数（Analytic function） [2] 是由收敛的幂级数局部给出的函数（locally given by convergent power series）。解析函数两种类型：实解析函数（real analytic functions）和复解析函数（complex analytic functions）。两种类型的解析函数都具有无限可微（infinitely differentiable）的特性，但是复解析函数所表现出来的性质通常对于实解析函数是不成立的。函数$f(z)$在$D$内是解析的一个充要条件是：$f(z)$在$D$内任一点$z_0$的邻域可展开为$z-z_0$的泰勒级数 [3]。
正式地讲，在实数轴（real line）中的一个开集（open set）$D$上，对于任意的$x_0\in D$，函数$f$都可以写作：
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots\]其中，系数$a_0,a_1,\cdots$都是实数；并且该级数对于$x_0$邻域内的任何$x$值都收敛于$f(x)$，我们就称函数$f$在开集$D$上是实解析的（real analytic）。
或者，在$D$上的任一点$x_0$的邻域内的任何$x$值，泰勒级数：
\[T(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]都收敛于$f(x)$，我们就称这是一个实解析函数，或者称它是一个无限可微函数（infinitely differentiable function）。在给定集合$D$上的所有实解析函数的集合通常被记为$\mathcal{C}^\omega(D)$。
复解析函数的定义是类似的，只需要将上述定义中的“real”替换为“complex”，“real line”替换为“complex plane”。
一个函数是复解析的充要条件是该函数是全纯的（holomorphic），即该函数是复可微的（complex differentiable）。也因此，对于复解析的函数，术语“holomorphic”和“analytic”可以相互替换。
Analytic continuation
在复分析（complex analysis）领域，解析延拓（analytic continuation）是一种用于拓展给定解析函数定义域的技术 [4]。假设$f$是一个定义在复平面$\mathbb{C}$的非空开集$U$上的一个解析函数；如果$V$是复平面$\mathbb{C}$上的一个更大的开集，并且包含开集$U$，并且$F$是定义在$V$上的，且有：
\[F(z)=f(z)\quad \forall z\in U\]则$F$称为$f$的解析延拓。
Looking backward to the example
回到博客一开始所介绍的Derbyshire书中的例子。对应于解析函数和解析延拓的定义：函数（无穷级数）$S(x)$是一个解析函数，并且有：
\[\left\{ \begin{split} &f:S(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n\\ &U:x\in(-1,1) \end{split}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{split} &F:F(x) =\dfrac{1}{1-x}\\ &V:x\in\mathbb{R},x\neq1 \end{split}\right.\]就目前而言，函数$S(x)$是一个实解析函数，而解析延拓也是在实数域内的延拓，至于能否将$S(x)$延拓到更大的复数域中，我目前还不清楚。作为一个问题先放在这里。
References
[1] Derbyshire J. Prime obsession: Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics[M]. Joseph Henry Press, 2003.
[2] Analytic function - Wikipedia.
[3] 解析函数的若干等价条件 - 知乎.