The Log Integral Function and its Relation to The PNT

Apr. 28, 2023

The Log Integral Function

函数：

\[f(t)=1/\ln t\label{eq0}\]

的定义域为$(0,1)\cup (1,+\infty)$，部分的函数图像为：

clc,clear,close all
hold(gca,"on")
grid(gca,"on")
box(gca,"on")
epsilon = 1e-2;
t1 = linspace(0+epsilon,1-epsilon,100);
t2 = linspace(1+epsilon,2,100);
plot(t1,1./log(t1),'LineWidth',1.5,'Color','k')
plot(t2,1./log(t2),'LineWidth',1.5,'Color','k')
ylim([-10,50])
xlabel('$t$','Interpreter','latex')
ylabel('$\ln t$','Interpreter','latex')

或者使用fplot函数 [2] 进行绘制：

clc,clear,close all
syms x
hold(gca,"on")
grid(gca,"on")
box(gca,"on")
fplot(1./log(x),[0 2],'LineWidth',1.5,'Color','k')
ylim([-10,50])
xlabel('$t$','Interpreter','latex')
ylabel('$\ln t$','Interpreter','latex')

式$\eqref{eq0}$的变上限积分函数（Integrals with variable upper limit function）为：

\[Li(x)=\int_{0}^x\dfrac1{\ln t}\mathrm{d}t\label{eq1}\]

这个函数被称为积分对数函数（the log integral function)，通常被记作$Li(x)$或者$li(x)$ [3]。它被定义为上图中$(0,x]$区间上函数曲线与$x$轴所包含的面积（注意，这个面积是有正负号的）。

在MATLAB Symbolic Math Toolbox中，由专门的logint函数 [4] 来计算这个变上限积分，例如我们可以绘制出$Li(x)$随$x$变化的曲线：

clc,clear,close all
syms x
hold(gca,"on")
grid(gca,"on")
box(gca,"on")
fplot(logint(x),[0 10],'LineWidth',1.5,'Color','k')
xlabel('$x$','Interpreter','latex')
ylabel('$li(x)$','Interpreter','latex')

从数学上讲，关于积分对数函数$Li(x)$有两点需要注意：

（1）$Li(x)$没有初等的原函数；

（2）$1/\ln t$在$x=1$处具有一个瑕点，因此$Li(x)$本质上是一个反常积分（improper integral）[5]；

The Relation to The PNT

当$x$特别大时，我们可以用累加的方法来近似$Li(x)$：

\[Li(x)\approx \dfrac1{\ln 2}+\dfrac1{\ln 3}+\dfrac1{\ln 4}+\cdots\dfrac1{\ln \lfloor x\rfloor}\label{eq2}\]

例如，当$x=10^6$时，式$\eqref{eq2}$左端的$Li(x)$和右端的加和的值分别：

clc,clear,close all
format long
Li = logint(1e6)
Sum = sum(1./log(2:1e6))

Li =
     7.862754915946219e+04
Sum =
     7.862734211232568e+04

绝对误差低于$0.21$，百分比误差为低于$0.0003\%$：

>> Li-Sum
ans =
   0.207047136500478
   
>> (Li-Sum)/Li*100
ans =
     2.633264532773007e-04

进一步，根据对数观念 [6]，当$x$特别大时，我们可以将式$\eqref{eq2}$近似地写作：

\[Li(x)\approx\dfrac{x}{\ln x}\notag\]

即：

\[Li(x)\sim\dfrac{x}{\ln x}\notag\]

而根据素数定理（PNT），随着$N$的增大，有 [5]：

\[\pi(N)\sim\dfrac{N}{\ln N}\notag\]

由于PNT定理是成立的，因此：

\[\pi(N)\sim Li(N)\label{eq3}\]

一定也成立，并且$\eqref{eq3}$是素数定理PNT的一个改进的版本（Improved Version）。

并且，不仅成立，而且比成立还成立（truer），即$Li(N)$实际上比$N/\ln N$能更好地估计$\pi(N)$，$Li(N)$是一个好得多的估计。

$N$	$\pi(N)$	$\dfrac{N}{\ln N}-\pi(N)$	$Li(N)-\pi(N)$
$100,000,000$	$5,761,455$	$-332,774$	$754$
$1,000,000,000$	$50,847,534$	$-2,592,592$	$1,701$
$10,000,000,000$	$455,052,511$	$-20,758,030$	$3,104$
$100,000,000,000$	$4,118,054,813$	$-169,923,160$	$11,588$
$1,000,000,000,000$	$37,607,912,018$	$-1,416,706,193$	$38,263$
$10,000,000,000,000$	$346,065,536,839$	$-11,992,858,452$	$108,971$
$100,000,000,000,000$	$3,204,941,750,802$	$-102,838,308,636$	$314,890$