前两天在逛知乎的时候，在一篇回答的下面看到了一个回答：“[在MATLAB中，] 先列后行比先行后列快很多”¹ 。也就是说，在不得以循环遍历矩阵中的每一个数组的元素时，“先遍历列元素，再遍历行元素”所花费的时间更短。于是，今天我就简单地测试了一下，采用的测试程序是“100次循环10e4阶矩阵的元素自增1”：

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clc,clear,close all

%%First row, second column
tic
A = ones(10^4);
for t = 1:100
    for columns = 1:width(A)
        for rows = 1:height(A)
            A(rows,columns) = A(rows,columns)+1;
        end
    end
end
toc

%% First column, second row
clear all

tic
B = ones(10^4);
for t = 1:100
    for rows = 1:height(B)
        for columns = 1:width(B)
            B(rows,columns) = B(rows,columns)+1;
        end
    end
end
toc

1
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Elapsed time is 24.729285 seconds.
Elapsed time is 263.073480 seconds.

可以看到，的确“先列后行”是更快的，并且速度差异是很明显的。

这种差异性是由MATLAB存储数组（Array）的方式导致的²。

根据数组的存储方式，数组的布局（Array layout，order，format或representation）分为column-major layout和row-major layout。对于column-major layout的数组，列中的元素在内存中是连续的（contiguous）；对于row-major layout的数组，行中的元素在内存中是连续的。数组的布局方式对于代码的集成（integration），可用性（usability）和性能（performance）是非常重要的。某些算法对于特定的array layout执行得更好。

在MATLAB的编程语言和编程环境中，所有的数据都是默认采用单一的column-major layout。

常见的采用column-major layout（有时也被称为”Fortran” style ordering³，Fortran-style contiguous array⁴）的编程语言：MATLAB，Fortran（许多流体力学的仿真采用的是这种语言），R。常见的采用row-major layout（有时也被称为”C” style ordering，或者C-style contiguous array）的编程语言：C，C++，Python NumPy package⁴⁵。

对于MATLAB采用column-major layout这一特性在下面的矩阵索引或运算的过程中可以得到一定的反映。

（1）矩阵索引

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A = [1,2,3,4;...
    5,6,7,8];
A(3)

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ans =
     2

（2）矩阵展开

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A = [1,2,3,4;...
    5,6,7,8];
A(:)

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ans =
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     3
     7
     4
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（3）素数判断

最近我在尝试计算某一个大数下素数的个数，其中涉及到使用MATLAB的isprime函数来判断某个数是否是素数 ⁶。isprime函数首先会将输入展开成一个列向量：

为了测试使用行向量和列向量的区别，我将isprime函数复制了一份，并将这一语句修改为X=X(:)'，其余部分不变，定义为一个新的函数helperIsprime：

注：这里的herlperIsprimes函数并没有进行博客⁶ 中提到的优化。

之后，测试了一下两个函数“重复20次判断1:2e7内所有元素是否为素数”所花费的时间：

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clc,clear,close all

tic
for i = 1:20
    result_builtin = isprime(1:2e7);
end
toc

clear all

tic
for i = 1:20
    result_helper = helperIsprime(1:2e7);
end
toc

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Elapsed time is 2931.111347 seconds.
Elapsed time is 3875.116026 seconds.

结果表明，将列向量更改为行向量后，的确降低了代码遍历元素的速度，也从侧面验证了MATLAB采用的是column-major layout数组。

References