Introduction

指数分布(Exponential Distribution)是一种常见的连续性随机变量分布，记为$E(\lambda)$。它有一个重要的性质，即“无记忆性”。指数分布的引出可以从两个不同的视角：

• 我们可以从一个构造的密度函数形式出发，证明它满足PDF的性质，并定义为它为指数分布，再从该PDF推导出它的无记忆性；
• 反过来，我们也可以从一个具体应用场景（“无记忆性”的寿命分布）出发，推导出它的CDF和PDF，将其定义为指数分布。从这种角度，可以很自然地将指数分布推广到更一般、在某些场景下更合理的Weibull分布。

Exponential Distribution(One-parameter Family of Curves)

Deduce from A Constructed Function

首先，我们定义一个函数：

很容易证明，该函数满足PDF的两个性质：非负性，和在整个定义区间内积分为1。

因此，对$\eqref{EPDF}$进行积分，可以得到它所对应的CDF：

PDF式$\eqref{EPDF}$和CDF式$\eqref{ECDF}$所代表的分布，我们就定义为指数分布$E(\lambda)$。

对于随机变量$X$，若它满足指数分布，我们可以推出它的一个性质：

即：

式$\eqref{eq3}$表明，已知$X>x$的条件下，$x\le X\le x+h$的概率等于$1-e^{-\lambda h}$，与$x$无关。

若令$h\rightarrow 0$，易证：

Deduce from An Ideal Life Distribution

现从另一个角度推导指数分布。

假设有一大批生产的电子元件，其寿命$X$为随机变量。假设这批电子元件“无老化”，即元件在时刻$x$尚在工作的条件下，其失效率保持为某个常数$\lambda$，且有$\lambda>0$，并且与$x$无关”。“失效率”就是单位时间$h$内失效的概率，令$h\rightarrow0$，则该假设可以使用表示为：

该式和式$\eqref{eq4}$是一致的，可以解释为：元件在时刻$x$尚正常工作，表示其寿命大于$x$，即$X>x$；在$x$处，长为$h$的时间段内失效，即$x\le X\le x+h$。把这个条件概率除以时间段长度$h$，即得到在$x$时刻的平均失效率，再令$h\rightarrow0$，得到瞬时失效率$\lambda$。

将上式进行简单的变形，可以得到：

即：

进而可以得到：

该微分方程的通解为$F(x)=1-Ce^{-\lambda x}\ (x>0)$，又因为当$x\le0$时$F(x)=0$，因此最终可以得到：

对其求导，可以得到：

式$\eqref{eq6}$和式$\eqref{eq7}$和指数分布的CDF和PDF，即式$\eqref{ECDF}$和式$\eqref{EPDF}$，是一致的。

因此，从这个推导的过程可见，指数分布描述了无老化时的寿命分布。但是“无老化”是不可能的，因而指数分布只是一种近似，对于寿命比较长的元件的初期老化现象，指数分布可以比较确切地描述其寿命分布情况。又比如人的寿命，一般在50岁或60岁之前，由于生理上老化而死亡的因素是次要的，若排除那些意外情况，人的寿命分布在这个阶段也应该接近指数分布。

Mathematic Expectation and Variance

指数分布的数学期望：

根据上述的描述，$\lambda$为瞬时失效率，因此$\lambda$越大，平均期望寿命就越小。

指数分布的方差：

同样地，$\lambda$越大，方差就越大。

exppdfand expcdf Function in MATLAB

MATLAB的exppdf和expcdf用于生成指数分布指定点的PDF值和CDF值：

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clc, clear, close all

xp  = linspace(0, 10, 100);
mus = [1, 2, 4, 8];
pdfs = bsxfun(@(x, mu) exppdf(x, mu), xp', mus);
cdfs = bsxfun(@(x, mu) expcdf(x, mu), xp', mus);

nexttile
plot(repmat(xp', 1, width(pdfs)), pdfs, LineWidth=1.5);
legend('$1/\lambda=1$', '$1/\lambda=2$', ...
    '$1/\lambda=4$', '$1/\lambda=8$', ...
    Interpreter="latex", Location='best')
xlabel('x')
ylabel('PDF')
title('PDFs of Exponential Distribution')
grid on

nexttile
plot(repmat(xp', 1, width(cdfs)), cdfs, LineWidth=1.5);
legend('$1/\lambda=1$', '$1/\lambda=2$', ...
    '$1/\lambda=4$', '$1/\lambda=8$', ...
Interpreter="latex", Location='best')
xlabel('x')
ylabel('CDF')
title('Corresponding CDFs of Exponential Distribution')
grid on

注意：exppdf和expcdf函数接受的参数是数学期望，是$1/\lambda$的值，而不是$\lambda$的值。

Weibull Distribution(Two-parameter Family of Curves)

Deduce from Exponential Distribution

若考虑老化，则应取失效率随时间而上升，微分方程$\eqref{eq5}$的右端项不能为常数，故应取为$x$的一个增函数，例如$\lambda x^m$，其中$\lambda>0$，$m>0$为常数，此时有：

该微分方程与初始条件$F(0)=0$结合，可以得到：

取$\alpha=m+1\ (\alpha>1)$，并将$\lambda/(m+1)$记为$\lambda$，则有：

当$x\le 0$时$F(x)=0$。对上式子求导，可以得到：

式$\eqref{eq9}$和$\eqref{eq10}$分别称为威布尔分布的CDF和PDF。威布尔分布与指数分布一样，在可靠性统计分析中占有重要的地位。实际上，指数分布就是威布尔分布当$\alpha=1$的一个特例。

Mathematic Expectation and Variance

威布尔分布的数学期望和方差同样可以使用Gamma函数进行计算。

计算得到，数学期望为：

方差为：

wblpdf and wblcdf in MATLAB

在MATLAB中，Weibull分布的函数形式和本文所述有所差别，见：Weibull Distribution - MathWorks

MATLAB中Weibull分布的PDF形式为：

其中，参数$a$和$b$参数与式$\eqref{eq10}$中$\lambda$和$\alpha$的关系是：

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x = linspace(0, 30);

figure
LineWidth = 1.5;

nexttile
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grid(gca, "on")
box(gca, "on")
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legend('Location', 'best')
xlabel('x')
ylabel('PDF')

nexttile
hold(gca, "on")
grid(gca, "on")
box(gca, "on")
plot(x, wblcdf(x, 10, 1), 'DisplayName', 'A=10,  B=1', LineWidth=LineWidth)
plot(x, wblcdf(x, 10, 2), 'DisplayName', 'A=10,  B=2', LineWidth=LineWidth)
plot(x, wblcdf(x, 10, 4), 'DisplayName', 'A=10,  B=4', LineWidth=LineWidth)
plot(x, wblcdf(x, 10, 0.5), 'DisplayName', 'A=10,  B=0.5', LineWidth=LineWidth)
plot(x, wblcdf(x, 10, 0.25), 'DisplayName', 'A=10,  B=0.25', LineWidth=LineWidth)
plot(x, wblcdf(x, 5, 1), 'DisplayName', 'A=5,  B=1', LineWidth=LineWidth)
legend('Location', 'best')
xlabel('x')
ylabel('CDF')

可以看到，当参数b等于1时，其实就是指数分布。

参考

[1] 概率论与数理统计. 陈希孺编著. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2009.2(2019.8重印).

[2] Exponential Distribution - MathWorks.

[3] Weibull Distribution - MathWorks.