Mass-Spring-Damper Simulation in MATLAB

Jun. 19, 2023

Introduction

MATLAB的示例 [1] 介绍了如何使用Simulink以及Simulink Simscape库构建一个简单的质量-弹簧-阻尼（Mass-Spring-Damper）系统：

这是一个很经典的系统，在很多的场景中都有应用，例如博客 [2] 中构建的电磁铁。

质量-弹簧-阻尼系统的所对应的方程为：

\[F=m\dfrac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2}+b\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx\label{eq1}\]

在这个模型中，弹簧的初始值为$x_0=1\ \mathrm{m}$，质量块速度的仿真结果如下图所示：

该示例没有输出质量块的位置波形，我们可以观察一下位置波形信号：

可以看到，最终质量块会稳定在$x=0$处。

在很早以前学习这个模型时，觉得很简单，并且最终质量块的速度稳定为零，就没有深究，没有输出模型的位置信号，以为实际模型是和Simscape模型是类似的，是垂直摆放的：

但是在实际应用时遇到了一些问题，再回过头看到模型的位置波形时就很疑惑：为什么一个有重力的小球会停在弹簧形变量为$0$的位置呢？

于是又想了一下，觉得这个示例的模型应该对应方程$\eqref{eq1}$左端项为零的情况，即：

\[0=m\dfrac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2}+b\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx\]

其对应的实际模型应该为：

是水平摆放在地面上，并且地面是绝对光滑的，没有摩擦力。

如果想要对上述垂直摆放的情形进行建模，则对应的系统方程为：

\[m\mathrm{g}=m\dfrac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2}+b\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx\]

对应的Simulink模型以及质量块的位置波形为：

最终质量块大致稳定在$-0.08828$处。考虑到该模型的参数：

\[\begin{split} &3.6\times(-9.81)=-35.316\\ &400\times(-0.08828)=-35.312\\ \end{split}\notag\]

可以验证此时模型的正确性。

References

[1] Mass-Spring-Damper in Simulink and Simscape - MathWorks.