Machine Representation of Decimal Integers
Introduction
博客 [1] 记录了关于十进制数（包括整数、小数）的浮点数表示方法以及浮点数的机器表示方法，小数的存在加大了保存和处理的难度，使得必须人为规定一些公认的规则，IEEE 754标准就是做了这样一件事情。如果只是想存储整数，那么就简单很多。相比于浮点数的保存，整数的保存：
- 不需要考虑精度，两个相邻整数之间的距离始终是1；
- 不涉及尾数位；
- 没有标准化（即主导数位必须是1）的浮点数表示格式；
- 没有截断和舍入的规则；
- 没有用于保存指数位的指数偏差规则；同时不用考虑异常浮点数字（非标准浮点数字，即$\mathrm{-Inf}$，$\mathrm{+Inf}$，$\mathrm{nan}$）的处理；
大多数编程语言都会提供相应的整数类型变量，例如MATLAB提供的integer数据类型有 [2]：
在MATLAB中，使用num2hex函数可以查看浮点数的十六进制机器表示法，例如：
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>> num2hex(single(10))
ans =
'41200000'
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>> num2hex(double(10))
ans =
'4024000000000000'
但是num2hex函数是不接受整型输入的，只能接受浮点数输入：
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3
>> num2hex(int8(10))
Error using num2hex
Inputs must be floating point, and may not be of class int8.
我们可以查看dec2bin函数 [3] 查看整型的二进制表示法。例如：
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>> dec2bin(int8(10),8)
ans =
'00001010'
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>> dec2bin(int8(-10),8)
ans =
'11110110'
可以看到，在MATLAB中采用了补码的方式来编码负数 [4-7]。
True Form, 1’s Complement Code and 2’s Complement Code
如果在编码负数时，将第一位作为符号位，其余位为表示位，则这种方式得到的二进制码称为原码（true form）。仍以8位整型$+10$和$-10$为例：
\[\begin{split} +10=[0000\ 1010]_{\text{原}}\\ -10=[1000\ 1010]_{\text{原}}\\ \end{split}\notag\]反码（1’s Complement Code）：正数的反码和其原码一致；负数的反码是在原码的基础上符号位不变，其余的位数取反：
\[\begin{split} &+10=[0000\ 1010]_{\text{反}}\\ &-10=[1111\ 0101]_{\text{反}}\\ \end{split}\notag\]补码（2’s Complement Code）：正数的补码和其原码一致；负数的补码为其反码+1：
\[\begin{split} &+10=[0000\ 1010]_{\text{补}}\\ &-10=[1111\ 0110]_{\text{补}}\\ \end{split}\notag\]最终，我们可以得到正整数和负整数的三种表示形式：
\[\begin{split} &+10=[0000\ 1010]_{\text{原}}=[0000\ 1010]_{\text{反}}=[0000\ 1010]_{\text{补}}\\ &-10=[1000\ 1010]_{\text{原}}=[1111\ 0101]_{\text{反}}=[1111\ 0110]_{\text{补}}\\ \end{split}\notag\]在计算机中，是使用补码进行编码。不使用原码进行编码是因为对于计算机而言，“辨别符号位”这一过程非常复杂，人们想要让符号位也参与计算。但是如果使用原码进行计算，则：
\[\begin{split} 10+(-10)&=[0000\ 1010]_{\text{原}}+[1000\ 1010]_{\text{原}}\\ &=[1001\ 0100]=-20 \end{split}\notag\]这显然是不对的。
如果使用反码进行计算：
\[\begin{split} 10+(-10)&=[0000\ 1010]_{\text{反}}+[1111\ 0101]_{\text{反}}\\ &=[1111\ 1111]_{反}\\ &=[1000\ 0000]_{\text{原}}=-0 \end{split}\notag\]会出现$-0$的编码。另一方面：
\[[0000\ 0000]_{\text{反}}=+0\notag\]此时，有两个$0$（即$+0$和$-0$）存在。
如果使用补码进行计算：
\[\begin{split} 10+(-10)&=[0000\ 1010]_{\text{补}}+[1111\ 0110]_{\text{补}}\\ &=[1\ 0000\ 0000]_{\text{补}} \end{split}\notag\]丢掉溢出的最高位后：
\[[0000\ 0000]_{\text{补}}=[0000\ 0000]_{\text{原}}=0\notag\]注：因为以$0$开头编码是正数，正数的补码就是其本身。
此时就只有一个$0$，不会出现$-0$的情况。
另一方面，在使用补码的情况下，就可以规定$[1000\ 0000]_{\text{补}}$为$-128$：
\[\begin{split} &(-127)+(-1)=[1000\ 0001]_{补}+[1111\ 1111]_{补}=[1\ 1000\ 0000]\equiv-128 \end{split}\notag\]1
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>> dec2bin(int8(-128),8)
ans =
'10000000'
因此，补码的使用在避免出现了$-0$的情况下，还扩展了负数的范围。
References
[2] Integers - MathWorks.
[3] dec2bin - MathWorks.
[4] 计算机中正数与负数的存储方式 - 爱吃鱼的Mia喵的博客 - CSDN博客.
[5] 原码、反码、补码的产生、应用以及优缺点有哪些？ - 李俊达的回答 - 知乎.
[6] 什么是原码，1’s Complement Code反码和2’s Complement Code补码 - Punch Man的博客 - CSDN博客.
[7] 1’s and 2’s complement of a Binary Number - GeeksforGeeks.