The Physical Meaning of Divergence of Velocity from Fundamentals of Aerodynamics by Anderson
考虑一个随流线运动的有限控制体（参考博客：Three Different Models of the Fluid from Fundamentals of Aerodynamics by Anderson）：
该控制体是总是包含相同的流体粒子，因此它的质量是固定的，不随时间运动。然而，它的体积$V$和控制面$S$随时间变化，也就导致它的密度$\rho$随时间变化。
在某一时刻，该控制体的状态如下图所示：
假设在该时刻，有限体的体积为$\mathcal{V}$，控制面的面积为$S$。我们首先考虑$\mathrm{d}S$（注意这是一个标量）的运动：在经过$\Delta t$的时间后，有限控制体的体积由于$\mathrm{d}S$的运动增加了$\Delta\mathcal{V}$（可以看成是相比原先的有限控制体凸起了一个柱体）：
\[\Delta\mathcal{V} = \Delta t\cdot(\mathrm{\boldsymbol{V}}\cdot\mathrm{\boldsymbol{n}})\mathrm{d}S=(\mathrm{\boldsymbol{V}}\Delta t)\boldsymbol{\mathrm{d}S}\label{eq1}\]如果考虑整个控制面$S$的运动，整个控制体的体积增量可以看做是$\eqref{eq1}$在整个控制面的加和。当$\mathrm{d}S\rightarrow0$，则可以写作积分形式：
\[\iint_S(\mathrm{\boldsymbol{V}}\Delta t)\boldsymbol{\mathrm{d}S}\label{eq2}\]将式$\eqref{eq2}$除以$\Delta t$，则有：
\[\dfrac1{\Delta t}\iint_S(\mathrm{\boldsymbol{V}}\Delta t)\boldsymbol{\mathrm{d}S}=\iint_S\mathrm{\boldsymbol{V}}\cdot\boldsymbol{\mathrm{d}S}\label{eq3}\]式$\eqref{eq3}$在物理上就表示控制体体积变化的时间速率（time rate of change of the control volume），并记作$D\mathcal{V}/Dt$，即：
\[\dfrac{D\mathcal{V}}{Dt}=\iint_S\mathrm{\boldsymbol{V}}\cdot\boldsymbol{\mathrm{d}S}\]根据散度定理（Divergence theorem），可以得到：
\[\dfrac{D\mathcal{V}}{Dt}=\iiint_\mathcal{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{\mathrm{V}})\mathrm{d}\mathcal{V}\label{eq5}\]假设上图2.15中的移动的控制体的体积收缩到一个非常小的体积$\delta \mathcal{V}$，本质上就成为了一个无限小流体微团（Three Different Models of the Fluid from Fundamentals of Aerodynamics by Anderson）
则式$\eqref{eq5}$就可以写作：
\[\dfrac{D(\delta\mathcal{V})}{Dt}=\iiint_{\delta\mathcal{V}}(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathrm{V}})\mathrm{d}\mathcal{V}\notag\]进一步可以得到：
\[\dfrac{D(\delta\mathcal{V})}{Dt}=(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathrm{V}}){\delta\mathcal{V}}\notag\]或者记作：
\[\nabla\cdot\boldsymbol{\mathrm{V}}=\dfrac1{\delta\mathcal{V}} \dfrac{D(\delta\mathcal{V})}{Dt}\label{eq6}\]从物理角度讲，式$\eqref{eq6}$表明$\nabla\cdot\boldsymbol{\mathrm{V}}$（即速度矢量的散度）等于移动流体微团每单位体积的体积变化时间速率（time rate of change of volume of a moving fluid element, per unit volume）。
References
[1] Anderson, John. EBOOK: Fundamentals of Aerodynamics (SI units). McGraw hill, 2011.