A Review of Vector Calculus from Fundamentals of Aerodynamics by Anderson

Mar. 20, 2023

Gradient of a Scalar Filed (Isoline, Gradient line, Directional derivative)Permalink

对于一个在三维笛卡尔坐标系下的标量场 $p$ ：

\begin{matrix} p = p (x, y, z) \end{matrix}

$p$ 在该空间中给定点的梯度 $\nabla p$ 定义为：

\begin{matrix} (1) & \nabla p = \frac{\partial p}{\partial x} i + \frac{\partial p}{\partial y} j + \frac{\partial p}{\partial z} k \end{matrix}

该向量：

它的大小是在给定点处坐标空间每单位长度下 $p$ 的最大变化率（Its magnitude is the maximum rate of change of $p$ per unit length of the coordinate space at the given point.）；
它的方向是在给定的点上 $p$ 的最大变化率。（Its direction is that of maximum rate of change of $p$ at the given point.）

例如，考虑一个二维笛卡尔空间的压力场（pressure filed），如下图所示：

实线是lines of constant pressure，即同一条实线连接了压力场中具有相同 $p$ 值的点，这样的实线被称作等值线（Isolines）。

考虑在上图中的任意一个点 $(x, y)$ ，如果我们从这个点向任意一个方向移动，通常而言， $p$ 值会发生变化，因为我们移动到了空间中的另一个位置。并且，如果是朝着某个方向移动，那么当在这个方向上移动a unit length， $p$ 值会发生最大的变化（changes the most）。于是，我们将这个方向定义为 $\nabla p$ 的方向；而在这个方向上移动unit length所导致的 $p$ 值的变化大小就对应 $\nabla p$ 的大小。

在坐标空间中，当从一个点到另一个点时， $\nabla p$ 的大小和方向都会发生变化。如果我们在这个二维空间中画的一条线，这条线在每个点都与 $\nabla p$ 相切，则这条线就被定义为梯度线（A line drawn in this space along which $\nabla p$ is tangent at every point is defined as a gradient line.）。并且，在坐标空间中的任一给定点处，梯度线和等值线都是垂直的（The gradient line and isoline through any given point in the coordinate space are perpendicular.）（关于这一点的解释可见博客The Gradient is Perpendicular to the Tangent of the Contour Line - What a starry night~）。

考虑下图中任一给定点 $(x, y)$ 处：

任意选择一个方向 $s$ ，令 $n$ 为 $s$ 方向上的单位向量，则 $s$ 方向上的单位长度变化对应 $p$ 的变化率为：

\begin{matrix} (2) & \frac{d p}{d s} = \nabla p \cdot n \end{matrix}

其中， $d p / d s$ 称为 $s$ 方向上的方向导数（directional derivative）。式 $(2)$ 表明 $p$ 在任意方向上的变化率是 $\nabla p$ 在该方向上的分量（The rate of change of $p$ in any direction is simply the component of $\nabla p$ in that direction）。

Divergence of a Vector FieldPermalink

考虑一个三维笛卡尔坐标系下的矢量场：

\begin{matrix} (3) & V = V (x, y, z) = V_{x} i + V_{y} j + V_{z} k \end{matrix}

其散度（Divergence） $\nabla \cdot V$ 定义为：

\begin{matrix} (4) & \nabla \cdot V = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} + \frac{\partial V_{y}}{\partial y} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z} \end{matrix}

注意，矢量的散度是一个标量。

Curl of a Vector FieldPermalink

同样考虑一个三维笛卡尔坐标系下的矢量场：

\begin{matrix} (5) & V = V (x, y, z) = V_{x} i + V_{y} j + V_{z} k \end{matrix}

其旋度（Curl） $\nabla \times V$ 定义为：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \nabla \times V & = | \begin{array}{c} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array} | \\ = i (\frac{\partial V_{z}}{\partial y} - \frac{\partial V_{y}}{\partial z}) + j (\frac{\partial V_{x}}{\partial z} - \frac{\partial V_{z}}{\partial x}) + k (\frac{\partial V_{y}}{\partial x} - \frac{\partial V_{x}}{\partial y}) \end{aligned} \end{matrix}

Line IntegralsPermalink

考虑一个三维笛卡尔坐标系下的向量场：

\begin{matrix} (7) & A = A (x, y, z) \end{matrix}

如下图所示，空间中的一条曲线 $C$ 连接了 $a$ 和 $b$ 两个点：

令 $d s$ 是曲线的长度微元（elemental length of the curve）， $n$ 是相切于其曲线的单位向量，定义：

\begin{matrix} (8) & d s = n d s \end{matrix}

则向量场 $A$ 沿着曲线 $C$ （从 $a$ 到 $b$ ）的线积分（line integral）定义为：

\begin{matrix} (9) & \int_{a}^{b} A \cdot d s \end{matrix}

如果曲线 $C$ 是闭合的，如下图所示：

则线积分表示为：

\begin{matrix} (10) & \oint_{C} A \cdot d s \end{matrix}

其中，积分的方向为曲线 $C$ 的逆时针方向（counterclockwise direction），该方向也被约定为为正方向（The positive direction around a closed curve is, by convention, that direction you would move such that the area enclosed by $C$ is always on your left）.

Surface IntegralsPermalink

考虑一个由闭合曲线 $C$ 环绕的开曲面（open surface） $S$ ，如下图所示：

点 $P$ 位于曲面上，令 $d S$ 为曲面的面积微元（elemental area）， $n$ 是该面积微元的法单位向量（a unit vector normal to the surface），其方向满足右手定则（right-hand rule: Curl the fingers of your right hand in the direction of movement around $C$ ; your thumb will then point in the general direction of $n$ ）.定义矢量面积微元 $d S$ 为：

\begin{matrix} (11) & d S = n d S \end{matrix}

于是，可以得到曲面 $S$ 的曲面积分（Surface integral）的三种定义方式：

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \iint_{S} p dS = & surface integral of a scalar p over the \\ open surface S (the result is a vector) \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} \iint_{S} A \cdot dS = & surface integral of a vector A over the \\ open surface S (the result is a scalar) \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \iint_{S} A \times dS = & surface integral of a vector A over the \\ open surface S (the result is a vector) \end{aligned} \end{matrix}

如果曲面 $C$ 是闭合的（例如sphere或者cube的surface），如下图所示：

则曲面微元的单位向量 $n$ 指向表面的外侧（away from the enclosed volume），则面积分分别定义为：

\begin{matrix} (15) & \int \int ◯_{S} p dS \int \int ◯_{S} A \cdot d S \int \int ◯_{S} A \times d S \end{matrix}

Volume IntegralsPermalink

考虑空间中的一个体（volume） $V$ ，则它所对应的体积分（Volume integrals）定义为：

Relations Between Line, Surface, and Volume IntegralsPermalink

Stokes’ theoremPermalink

仍然考虑这样一个被闭合曲线 $C$ 所包围的开曲面 $S$ ：

令 $A$ 是一个向量场，则Stokes’ theorem表明，曲线 $C$ 关于 $A$ 的线积分与开曲面 $S$ 上的面积分有关：

Divergence theoremPermalink

仍然考虑一个由闭合曲面 $S$ 包围的体 $V$ ：

则向量场 $A$ 的面积分和体积分由Divergence theorem联系起来：

Gradient theoremPermalink

如果 $p$ 表示一个标量场，则类似于Divergence theorem，则有Gradient theorem：

References

[1] Anderson, John. EBOOK: Fundamentals of Aerodynamics (SI units). McGraw hill, 2011.