Fourier Transform
Fourier Transform
在博客Spectrum of Periodic Signals中，我们推导并分析了周期矩形脉冲信号的频谱：
并且得出结论：
当保持$\tau$不变，而$T$增大时，则频谱的的幅度下降，间隔$\Omega$减小，频谱变密。而当$T\rightarrow\infty$时（周期是无穷大的信号，就可以看做是非周期信号）：
- 谱线间隔$\Omega=\dfrac{2\pi}T\rightarrow0$
- 谱线幅度$\rightarrow0$
周期信号的连续频谱过渡为非周期信号的连续频谱。
虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间仍有相对大小差别，出于这个原因，我们可以很自然地引入频谱密度函数这个概念。
我们仍然从周期信号的虚指数形式傅里叶级数出发进行推导：
周期信号的虚指数形式傅里叶级数：
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}\label{eq1}\]其中傅里叶系数为：
\[\begin{split} F_n&=\dfrac1T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\Omega t}\mathrm{d}t,\quad n=0,\pm1,\pm2,\cdots \end{split}\label{eq2}\]
我们可以把频谱的无穷小幅度放大无穷大倍，观察它们的相对大小，所找的这个无穷大就是无穷大的周期$T$。针对式$\eqref{eq2}$，有：
\[\begin{split} F&=\lim_{T\rightarrow\infty}TF_n\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n({2\pi}/{T})t}\mathrm{d}t\\ &=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \end{split}\label{eq4}\]因为此时的“相对幅值”$F$与$\mathrm{j}\omega$的函数，因此我们常常记作：
\[\begin{split} F(\mathrm{j}\omega)&=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \end{split}\label{eq3}\]式$\eqref{eq3}$就是频谱密度函数的定义；换句话说，已知任意函数$f(t)$，经过式$\eqref{eq3}$的运算得到频谱密度函数，其实这就是傅里叶变换。
“频谱密度”也可以这么理解，式$\eqref{eq4}$中的：
\[\lim_{T\rightarrow\infty}TF_n\notag\]等价于：
\[\lim_{T\rightarrow\infty}TF_n=\lim_{T\rightarrow\infty}\dfrac{F_n}{1/T}\notag\]含义是：单位频率（$1/T$）上的频谱强度，也就是频谱密度。
仍然需要强调的是，傅里叶变换求出来的$F(\mathrm{j}\omega)$和傅里叶级数求出的$F_n$不在一个层次上。$F_n$代表的是实际频谱，即双边谱，的强度；而$F(\mathrm{j}\omega)$是将双边谱的频谱强度放大了无穷倍看到的频谱强度。但是，它们都反映了频谱的大小。
Inverse Fourier Transform
式$\eqref{eq2}$和式$\eqref{eq1}$实际上分别代表了周期信号从时域到频域的变换和从频域到时域的变换，我们由式$\eqref{eq2}$推导出了傅里叶变换，同样地，我们也可以由$\eqref{eq1}$推导出傅里叶反变换。
由式$\eqref{eq1}$，有：
\[\begin{split} f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}\\ &=\dfrac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_nT\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t} \end{split}\notag\]当$T\rightarrow\infty$时，有：
- $\Omega\rightarrow \mathrm{d}\omega\ (无穷小量)$
- $n\Omega\rightarrow\omega\ (从离散到连续)$
- $\lim_{T\rightarrow\infty}F_nT\rightarrow(\mathrm{j}\omega)$
- $\dfrac1T=\dfrac{\Omega}{2\pi}\rightarrow\dfrac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}$
- $\sum\rightarrow\int$
于是可以得到傅里叶反变换公式：
\[f(t)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\]最终，由傅里叶变换和傅里叶反变换组成了傅里叶变换对：
可以记作：
\[f(t)\leftrightarrow F(\mathrm{j}\omega)\notag\]函数$f(t)$存在傅里叶变换存在的充分条件是，函数$f(t)$绝对可积，即：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\vert f(t)\vert\mathrm{d}t<\infty\notag\]注：所有的能量信号（即能量有限信号）都满足此条件，根据下面的结论可以进一步得到，时限信号都满足绝对可积的条件。
信号的能量定义为：
\[E=\int_{-\infty}^{+\infty}\vert f(t)\vert^2\mathrm{d}t\]两个信号的能量都可能是无穷大，它们的差别体现在功率上，即单位时间内（周期）的能量。信号的功率定义为：
\[P=\lim_{T\rightarrow\infty}\dfrac1T\int_{-T/2}^{T/2}\vert f(t)\vert^2\mathrm{d}t\]能量有限信号：信号的能量$E<\infty$，简称能量信号，此时$P=0$；
功率有限信号：信号的功率$P<\infty$，简称功率信号，此时$E=\infty$。
关于能量信号和功率信号有一些简单的结论：
- 时限信号（仅在有限时间区间不为0）为能量信号；
- 周期信号属于功率信号；
- 非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号；
- 有些信号既不是能量信号也不是功率信号，如：$f(t)=\mathrm{e}^t$。
Fourier Transform Pairs of Common Functions
(1) Unilateral exponential signal
单边指数函数的定义：
\[f(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}\varepsilon(t)=\left\{ \begin{split} &\mathrm{e}^{-\alpha t}, &\quad t>0\\ &0, &\quad t<0\\ \end{split},\quad \alpha>0 \right.\]傅里叶变换对：
\[\mathrm{e}^{-\alpha t}\varepsilon{(t)}\leftrightarrow\dfrac1{\alpha+\mathrm{j}\omega}\](2) Bilateral exponential signal
双边指数函数的定义：
\[f(t)=\mathrm{e}^{-\alpha\vert t\vert}=\left\{ \begin{split} &\mathrm{e}^{-\alpha t}, &\quad t>0\\ &\mathrm{e}^{\alpha t}, &\quad t<0\\ \end{split} \right.\]傅里叶变换对：
\[\mathrm{e}^{-\alpha\vert t\vert}\leftrightarrow \dfrac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}\](3) Gate function (Rectangle pulse)
门函数（矩形脉冲）函数的定义：
\[g_\tau(t)=\left\{ \begin{split} &1,\quad&\vert t\vert\le\dfrac\tau2\\ &0,\quad&\vert t\vert>\dfrac\tau2\\ \end{split} \right.\]傅里叶变换对：
\[g_\tau(t)=\tau\mathrm{Sa}\Big(\dfrac{\omega\tau}{2}\Big)\](4) Impulse function
冲激函数及其导数的傅里叶变换对：
\[\begin{split} &\delta(t)\leftrightarrow1\\ &\delta^{\prime}(t)\leftrightarrow\mathrm{j}\omega\\ &\delta^{(n)}(t)\leftrightarrow(\mathrm{j}\omega)^n \end{split}\](5) Constant
常数的傅里叶变换对：
\[1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)\](6) Sign function
符号函数定义：
\[\mathrm{sgn}(t)=\left\{ \begin{split} &-1,\quad&t<0\\ &1,\quad&t>0\\ \end{split} \right.\]傅里叶变换对（推导需要使用广义傅里叶变换的概念）：
\[\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow\dfrac{2}{\mathrm{j}\omega}\](7) Step function
阶跃函数定义：
\[\varepsilon(t)=\left\{ \begin{split} 0,\quad&t<0\\ 1,\quad&t>0\\ \end{split} \right.\]傅里叶变换对：
\[\varepsilon(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\dfrac1{\mathrm{j}\omega}\]References