Spectrum of Periodic Signals
Jan. 26, 2023
Unilateral Spectrum and Bilateral Spectrum of Periodic Signals
在博客Fourier Series of Periodic Signals中，我们介绍了周期信号的三角形式的傅里叶级数：
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\Omega t)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\Omega t)\]其中傅里叶系数为：
\[\begin{split} &a_n=\dfrac2T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\Omega t)\mathrm{d}t\quad(n=0,1,2,\cdots)\\ &b_n=\dfrac2T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\Omega t)\mathrm{d}t\quad(n=1,2,\cdots)\\ \end{split}\label{eq2}\]余弦形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\dfrac{A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\Omega t+\varphi_n)\]其中：
\[\left\{ \begin{split} A_n&=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ \varphi_n&=-\arctan\dfrac{b_n}{a_n} \end{split} \right.\]
指数形式的傅里叶级数：
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}\]其中：
\[\begin{split} F_n&=\dfrac1T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\Omega t}\mathrm{d}t,\quad n=0,\pm1,\pm2,\cdots \end{split}\label{eq3}\]
以及两者之间的关系（左端为指数形式，右端为余弦形式）：
\[\begin{split} \vert F_n\vert&=\dfrac12{A_n}\\ \Phi&=\varphi \end{split}\]
周期信号分解后，绘制出各分量的幅度和相位随频率的变化（将幅度和相位分量用一定高度的直线表示），就可以得到周期信号的幅度谱和相位谱。其中，幅度谱反映了信号不同频率分量的大小。
三角形式与指数形式的傅里叶级数所对应的频谱分别是单边谱（单边幅度谱，单边相位谱）和双边谱（双边幅度谱，双边相位谱）。
注：绘制双边谱并不意味着我们现实生活中存在负的频率，而是因为引入复数以后，正频率和负频率是一对。在数学上看，负数运算比三角函数的运算简单得多。
Relation Between Unilateral and Bilateral Spectrum
（1）$\vert F_n\vert$是$n$的偶函数，双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。
（2）$\Phi_n$是$n$的奇函数，双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称得到；
Spectrum of Periodic Rectangle Pulse
Periodic Rectangle Pulse
有一幅度为1，周期为$T$，脉冲宽度为$\tau$的周期矩形脉冲，如图所示：
求其三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数。
Trianglular Form (Cosine Form) Fourier Series
由于周期矩形脉冲$g_\tau(t)$为偶函数，因此式$\eqref{eq2}$中的$b_n$项积分为0，只需要计算余弦系数分量$a_n$：
\[\begin{align*} a_n&=\dfrac{2}{T}\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}}\cos(n\Omega t)\mathrm{d}t\\ &=\dfrac{2}{n\Omega T}\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}}\cos(n\Omega t)\mathrm{d}(n\Omega t)\\ &=\dfrac{2}{n\pi}\sin(n\Omega\dfrac{\tau}{2})\\ &=\dfrac{2}{n\pi}\sin(n\pi \dfrac{\tau}{T})\\ &=\dfrac{2\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi \dfrac{\tau}{T})\quad (n=0,1,2,\cdots) \end{align*}\]式中，$\mathrm{Sa}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$为抽样函数。于是，周期矩形脉冲$g_\tau(t)$的三角形式傅里叶级数为：
\[g_T(t)=\dfrac{\tau}{T}+\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{2\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi \dfrac{\tau}{T})\cos(n\Omega t)\label{eq4}\]该公式也是余弦形式的傅里叶级数，因此可以直接根据它来绘制周期信号$g_T(t)$的单边频谱。
Exponential Form (Cosine Form) Fourier Series
根据式$\eqref{eq3}$，可以计算得到周期矩形脉冲$g_T(t)$的傅里叶系数$F_n$为：
\[\begin{align*} F_n&=\dfrac{1}{T}\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}}e^{-\mathrm{j}n\Omega t}\mathrm{d}t\\ &=\dfrac{-1}{\mathrm{j}n\Omega T}e^{-\mathrm{j}n\Omega t}|^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm{j}n2\pi}[e^{\mathrm{j}n\Omega \frac{\tau}{2}}-e^{-\mathrm{j}n\Omega \frac{\tau}{2}}]\\ &=\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{[e^{\mathrm{j}n\Omega \frac{\tau}{2}}-e^{-\mathrm{j}n\Omega \frac{\tau}{2}}]}{2j}\\ &=\dfrac{1}{n\pi}\sin(n\Omega \frac{\tau}{2})\\ &=\dfrac{\Omega \tau}{2\pi}\dfrac{\sin(n\Omega \frac{\tau}{2})}{n\Omega \frac{\tau}{2}}\\ &=\dfrac{\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi\dfrac{\tau}{T})\qquad n=0,\pm 1, \pm 2,\cdots \end{align*}\]周期矩形脉冲$g_T(t)$的虚指数形式傅里叶级数：
\[g_T(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}\dfrac{\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi\dfrac{\tau}{T})e^{\mathrm{j}n\Omega t}\label{eq5}\]Spectrum of Periodic Rectangle Pulse
总结式$\eqref{eq4}$和式$\eqref{eq5}$得到结论：
给定的周期矩形脉冲$g_T(t)$的三角函数形式级数和虚指数函数级数分别为：
\[\begin{align*} 三角函数（余弦）形式傅里叶级数：& g_T(t) =\dfrac{\tau}{T}+\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{2\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi \dfrac{\tau}{T})\cos(n\Omega t)\\ 虚指数函数形式傅里叶级数：& g_T(t) =\sum^{\infty}_{n=-\infty}\dfrac{\tau}{T}\mathrm{Sa}(n\pi\dfrac{\tau}{T})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t} \end{align*}\]
可以看到，周期矩形脉冲$g_T(t)$的相位谱均为0，因此，我们只需要绘制出单边幅度谱和双边幅度谱即可。
我们考虑两种趋势下的频谱变化情况：
（1）$\tau$不变，增大$T$的值
在上面的代码中，我定义了一个
RectanglePulse类，类的定义见文末的附录。
可以看到：当保持$\tau$不变，而$T$增大时，则频谱的的幅度下降，间隔$\Omega$减小，频谱变密。我们可以合理猜想：当$T\rightarrow\infty$时，谱线间隔$\Omega=\dfrac{2\pi}T\rightarrow0$，谱线幅度$\rightarrow0$，周期信号的连续频谱过渡为非周期信号的连续频谱。
（2）$T$不变，减小$\tau$的值
可以看到：随着时域波形的压缩，周期矩形脉冲的频域展宽（“频域展宽”是指零点和零点之间的距离扩展）。
幅度$\dfrac{\tau}{T}$减小；$T$不变，所以$\Omega$不变；零点间距$\dfrac{2\pi}{\tau}$增大，所以零点间的谱线数增加。
另外，根据这个例子，我们也可以看到周期信号频谱的特点：
（1）离散性：以基频$\Omega=\dfrac{2\pi}{T}$为间隔的若干离散谱线组成；
（2）谐波性：谱线仅含有基频$\Omega$的整数倍分量；
（3）收敛性：整体趋势减小；
Appendix: RectanglePulse Class
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classdef RectanglePulse < handle
properties
tau = 1; % Rectangle pulse width
Period % Period
Omega % Fundamental frequency
Delays % Pulse delay position
rectanglePulse % Time-domain waveform
tlim % Time limit
flim % Frequency limit
time % Time vector
end
methods
% Constructor
function obj = RectanglePulse(tau, Period, tlim, flim)
% Initialize
obj.tau = tau;
obj.tlim = tlim;
obj.flim = flim;
% Calculate period and angular frequency
obj.Period = Period;
obj.Omega = 2*pi/obj.Period;
% Obtain time vector
obj.time = -obj.tlim:0.01:obj.tlim;
% Consturct periodic rectangle pulse
% Refer to https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ug/signal-generation-and-visualization.html#SignalGenerationExample-4
RightDelays = 0:obj.Period:max(obj.time);
LeftDelays = -fliplr(RightDelays);
obj.Delays = [LeftDelays(1:end-1), RightDelays];
obj.rectanglePulse = pulstran(obj.time,obj.Delays,@rectpuls,tau);
end
% Plot periodic rectangle pulse
function Plot(obj)
plot(obj.time, obj.rectanglePulse, 'k')
box(gca, "on")
xlabel('t')
ylabel('f(t)')
set(gca, 'YTick', [0,1])
set(gca, 'Xtick', obj.Delays)
title(['$\tau=$',num2str(obj.tau), ...
'$, T=$', num2str(obj.Period), ...
'$, T/\tau=$', num2str(obj.Period/obj.tau)], 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontSize', 13)
end
% Plot Unilateral Spectrum for cosine form series
function PlotUniSpec(obj)
Unifreq = 0:obj.Omega:obj.flim;
n = Unifreq/obj.Omega;
an = 2*obj.tau/obj.Period*Sa(n*pi*obj.tau/obj.Period);
stem(Unifreq, an, 'filled', 'MarkerSize', 4, ...
'DisplayName', 'Unilateral Spectrum')
xlabel('$\Omega$ (Hz)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('Amplitude')
title(['$\Omega=$', num2str(obj.Omega)], 'Interpreter', 'latex')
legend();
set(gca, 'FontSize', 13)
end
% Plot Bilateral Spectrum for exponential form series
function PlotBiSpec(obj)
Unifreq = 0:obj.Omega:obj.flim;
Bifreq = [-fliplr(Unifreq), Unifreq];
n = Bifreq/obj.Omega;
an = obj.tau/obj.Period*Sa(n*pi*obj.tau/obj.Period);
obj.Omega = 2*pi/obj.Period;
stem(Bifreq, an, 'filled', 'MarkerSize', 4, ...
'DisplayName', 'Bilateral Spectrum')
xlabel('$\Omega$ (Hz)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('Amplitude')
ylim([-0.2,1])
title(['$\Omega=$', num2str(obj.Omega)], 'Interpreter', 'latex')
legend();
set(gca, 'FontSize', 13)
end
end
end
% Reconstruct sinc function
% Refer to: https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/sinc.html
function y = Sa(x)
y = sinc(x/pi);
end
References