Introduction

在博客Orthogonal Decomposition of Signals中，我们推导了信号的傅里叶级数：

任意信号$f(t)$可以表示为无穷多个正交函数之和，即表示为广义傅里叶级数：

\[f(t)=C_1\varphi_1(t)+\cdots+C_i\varphi_i(t)+\cdots=\sum_{i=1}^\infty C_i\varphi_i(t)\]

其中，$C_i$称为广义傅里叶系数：

若$\varphi_i(t)$为实变函数，有：

\[C_i=\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i(t)\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i^2(t)\mathrm{d}t}=\dfrac{1}{K_i}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i(t)\mathrm{d}t\label{eq2}\]

若$\varphi_i(t)$为复变函数，有：

\[C_i=\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i^*(t)\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t)\varphi_i^*(t)\mathrm{d}t}=\dfrac{1}{K_i}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i^*(t)\mathrm{d}t\label{eq3}\]

并且提到了两个完备正交函数集合：

两组典型的在区间$(t_0,t_0+T)(T=2\pi/\Omega)$上的完备正交函数集：

（1）三角函数集（实数集）：${1,\cos(n\Omega t), \sin(n\Omega t), \cdots}(n=1,2,\cdots)$

（2）虚指数函数集（复数集）：${\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}}(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

本文分别以这两种完备正交函数集作为基对周期信号进行分解，得到我们最常见的三角形式和指数形式的傅里叶级数。

Triangular Fourier Series of Periodic Signals

设有周期信号$f(t)$，其周期为$T$，角频率为$\Omega=2\pi/T$，当满足狄利克雷（Dirichlet）条件（见文末附录）时，周期信号$f(t)$可展开为三角形式的傅里叶级数：

接下来的工作就是根据式$\eqref{eq2}$确定傅里叶系数。对于直流分量：

对于$n$次余弦分量：

对于$n$次正弦分量：

将$K_i$带入到式$\eqref{eq2}$中，有：

为了使$a_0$和$a_n$的计算式保持一致性，我们通常直接从$n=0$开始计算$a_n$：

求出$a_0$后除以2就是直流分量的值，因此三角形式的傅里叶级数通常表示为：

其中：

由式$\eqref{eq4}$可以进一步合并三角函数，得到余弦形式的傅里叶级数：

两种形式傅里叶系数的对应关系为：

余弦形式的傅里叶级数可以解读为：周期信号可以分解为直流分量和许多余弦分量。其中：

• $A_0/2$，为直流分量
• $A_1\cos(\Omega t+\varphi_1)$，为基波（AKA一次谐波），角频率与原周期信号相同；
• $A_1\cos(2\Omega t+\varphi_2)$，为二次谐波；
• $A_n\cos(n\Omega t+\varphi_n)$，为$n$次谐波；

Exponential Fourier Series of Periodic Signals

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但是运算时会有些不便，因而人们也经常使用指数形式的傅里叶级数。

如果选取虚指数集作为完备正交函数集，则任意函数$f(t)$在周期$T$内可以分解为： \(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}\)

根据式$\eqref{eq3}$，可以得到系数$F_n$的计算公式：

注：

\[\begin{split} &\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t}=\cos(n\Omega t)+\mathrm{j}\sin(n\Omega t)\\ &(\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\Omega t})^*=\cos(-n\Omega t)+\mathrm{j}\sin(-n\Omega t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\Omega t} \end{split}\notag\]

这种分解表明，任意周期信号$f(t)$可以分解为许多不同频率的虚指数信号之和。

Relation of Two Series Form

根据周期信号的余弦展开形式$\eqref{eq6}$，可以进一步推导出：

由于$A_n$是$n$的偶函数，$\varphi_n$是$n$的奇函数：

“$A_n$是$n$的偶函数，$\varphi_n$是$n$的奇函数”

根据式$\eqref{eq5}$可以得到：

\[\begin{split} &a_{-n}=a_n\\ &b_{-n}=-b_n \end{split}\notag\]

再由式$\eqref{eq8}$可得：

\[\left\{ \begin{split} A_{-n}&=\sqrt{a_{-n}^2+b_{-n}^2}=\sqrt{a_n^2+(-b_n)^2}=A_n\\ \varphi_{-n}&=-\arctan\dfrac{b_{-n}}{a_{-n}}=-\arctan\dfrac{-b_{n}}{a_{n}}=\arctan\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=-\varphi_n \end{split} \right.\notag\]

因此我们用$-n$替换掉式$\eqref{eq9}$右端第三项的$n$，于是上式可化为：

对比指数形式的傅里叶级数：

可以得到：

三角形式和指数形式的傅里叶级数之间的关系为：

Example: Fourier Series of Square Wave Signal

Triangular Form (Gibbs Phenomenon)

对于方波（square）信号$f(t)$：

它的三角形式的傅里叶系数为：

傅里叶级数为：

以周期为2的方波为例，可视化正弦型号对于方波的近似：

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classdef Square < handle
    properties
        t = linspace(0,2,1000)';
        f
    end

    methods
        function obj = Square(Omega)
            obj.f = square(Omega*obj.t);
        end

        function Plot(obj)
            plot(obj.t, obj.f, 'k', LineWidth=1.5)
            box(gca, "on")
            grid(gca, "on")
            xlabel('t')
            ylabel('f(t)')
            set(gca, 'YTick', [-1,0,1])
            set(gca, 'Xtick', [-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5])
            set(gca, 'FontName', 'Times New Roman')
            set(gca, 'FontSize', 13)
        end
    end
end

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classdef SineApprox < handle
    properties
        t = linspace(0,2,1000)';
        f
        times
    end

    methods
        function obj = SineApprox(Omega, times)
            obj.times = times;
            obj.f = zeros(numel(obj.t), 1);
            for i = 1:2:times
                obj.f = obj.f + 4/pi*(1/i)*sin(i*Omega*obj.t);
            end
        end

        function Plot(obj)
            hold(gca, "on")
            plot(obj.t, obj.f, 'r', LineWidth=1.5)
            title(sprintf('Sum of the first %d harmonics', obj.times))
        end

    end
end

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clc, clear, close all

figure
for i = [1, 3, 5, 7, 99, 999]
    nexttile
    Omega = pi;
    SquareObj = Square(Omega);
    SineApproxObj1 = SineApprox(Omega, i);
    SquareObj.Plot()
    SineApproxObj1.Plot()
end

可以看到，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅值不会随着所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量（能量占比）减少。

当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式衰减下去。这种现象称为吉布斯现象（Gibbs phenomenon）。

Exponential Form

周期为$T$的方波信号的指数型傅里叶系数为：

傅里叶级数为：

Appendix: Dirichlet Conditions

迪利克雷条件包含三个方面。

条件1：在一个周期内，函数连续或者只有有限个第一类间断点（是间断点，左极限和右极限都存在）。

间断点的个数必须是有限个，无限个第一类间断点就不满足，例如：

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应该为有限个。

同样的，无限个极值的情形也不满足，例如：

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

这一条件是为了保证有界，比如下面的信号就不满足：

References

[1] 信号与线性系统分析 吴大正 郭宝龙 - bilibili