背景
在电磁学(electromagnetism)中，Biot-Savart 定律是用于描述恒定电流(constant magnetic field)所产生的电磁场(magnetic field)的方程。它将磁场与电流的大小(magnitude)、方向(direction)、长度(length)和距离(proximity)联系起来。Biot-Savart 定律是静磁学(magnetostatics)的基础，其作用类似于静电学(electrostatics)中的库仑定律(Coulomb’s law)。当静磁学不适用于所解决的问题时，Biot-Savart 定律应替换为 Jefimenko 方程。Biot-Savart 定律在静磁近似(magnetostatic approximation)的情形下仍然有效，并且与安培环路定律(Ampère’s circuital law)和磁场高斯定律(Gauss’s law for magnetism)一致。该定律以 Jean-Baptiste Biot 和 Félix Savart 的名字命名，他们在1820年发现了这个关系。
内容
Biot-Savat 用于计算由电流（如导线中的电流）产生的在三维空间中 $\boldsymbol{r}$ 处的合成磁场 $\boldsymbol{\mathrm{B}}$ 。稳定电流(stationary current)是电荷的连续流动，它不随时间变换，并且电荷在任意一点都不积累也不消耗。
该定律是线积分(line integral)的一个物理实例，在电流流动的路径 $C$ 上进行计算。在 SI 单位制下，该方程可以写作：
\[\boldsymbol{\mathrm{B}}(\boldsymbol{\mathrm{r}})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\dfrac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}}{\vert\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}\vert^3}\label{eq1}\]其中，$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 是沿着路径 $C$ 的向量，其大小是电流在线路上流动方向的微分(differential element)；$\boldsymbol{l}$ 是在路径 $C$ 上的一个点，$\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}=\boldsymbol{\mathrm{r}}-\boldsymbol{l}$ 是一个全位移矢量，由 $\boldsymbol{l}$ 处的线微分 $\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 指向要要计算场的 $\boldsymbol{\mathrm{r}}$ 处，$\mu_0$ 是磁常数(magnetic constant)，即真空磁导率。
式 $\eqref{eq1}$ 也可以写作下面这种形式：
\[\boldsymbol{\mathrm{B}}(\boldsymbol{\mathrm{r}})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\dfrac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\hat{\boldsymbol{\mathrm{r}}}^{\prime}}{\vert\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}\vert^2}\label{eq2}\]其中，$\hat{\boldsymbol{\mathrm{r}}}^{\prime}$ 为 $\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}$ 的单位向量。
这个积分通常实在闭合曲线上进行的，因为在有界的情况下，恒定电流只能够在闭合回路上流动。然而，这个定律同样适用于无限长导线(infinitely long wires)。
在实际计算时，我们选择固定空间中的一点 $\boldsymbol{\mathrm{r}}$ ，在电流流动的路径上计算线积分，以获得 $\boldsymbol{\mathrm{r}}$ 处的合成场 $\boldsymbol{\mathrm{B}}$，$\boldsymbol{\mathrm{B}}$ 同样是个矢量。该定律的应用隐含地依赖于磁场的叠加原理(superposition principle for magnetic fields)，即磁场是由导线的每个无穷小部分(infinitesimal section)单独产生的磁场的矢量和(vector sum)。
另外，式 $\eqref{eq1}$ 是 Biot-Savart 方程的二维形式。一般来说，电流流过的路径不一定总是在同一个平面上，在这种情况下，Biot-Savat 定律就需要依赖于电流密度(current density) $\boldsymbol{\mathrm{J}}$ 给出：
\[\boldsymbol{\mathrm{B}}(\boldsymbol{\mathrm{r}})=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\int_{C}\dfrac{(\boldsymbol{\mathrm{J}}\mathrm{d}\boldsymbol{l})\times\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}}{\vert\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}\vert}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\int_{C}(\boldsymbol{\mathrm{J}}\mathrm{d}\boldsymbol{l})\times\hat{\boldsymbol{\mathrm{r}}}^{\prime}\label{eq3}\]上述 Biot-Savart 公式均假设电流流过的路径（即导线）是一个无限窄导线(infinitely-narrow wire)。但在实际中，导体是具有横截面的，此时就需要用下面这种形式进行计算：
\[\boldsymbol{\mathrm{B}}(\boldsymbol{\mathrm{r}})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{V}\dfrac{(\boldsymbol{\mathrm{J}}\mathrm{d}\boldsymbol{V})\times\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}}{\vert\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}\vert^3}\label{eq4}\]其中，$\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}$ 是从 $\mathrm{d}\boldsymbol{V}$ 指向观测点 $\boldsymbol{\mathrm{r}}$ 的向量， $\mathrm{d}\boldsymbol{V}$ 是体积微分，$\boldsymbol{\mathrm{J}}$ 是 $\mathrm{d}\boldsymbol{V}$ 的电流密度。
同样地，式 $\eqref{eq4}$ 还可以写作：
\[\boldsymbol{\mathrm{B}}(\boldsymbol{\mathrm{r}})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{V}\dfrac{(\boldsymbol{\mathrm{J}}\mathrm{d}\boldsymbol{V})\times\hat{\boldsymbol{\mathrm{r}}}^{\prime}}{\vert\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\prime}\vert^2}\label{eq5}\]场的方向
在上述的积分式中，都用到了叉积的运算，因此在每一个微元处，都可以用以下的方式来判断场的方向。
References