Gamma Function and Beta Function
Jul. 07, 2022
Gamma function
$\Gamma$ 函数（读作Gamma函数）$\Gamma(x)$，通过积分
\[\Gamma(x)=\int^{\infty}_0e^{-t}t^{x-1}\mathrm{d}t\qquad (x\gt0)\tag{1-1}\]来定义。该积分在 $x\gt0$ 时有意义。
（Ⅰ）根据定义式(1-1)，有 $\Gamma(1)=\int^{\infty}_0e^{-t}t^{0}\mathrm{d}t=1$；
（Ⅱ）令 $t=u^2$，则
\[\begin{aligned} \Gamma(\dfrac12) &=\int^{\infty}_0e^{-u^2}(u^2)^{-1/2}(2u\mathrm{d}u)\\ &=\int^{\infty}_02e^{-u^2}\mathrm{d}u\\ &=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-u^2}\mathrm{d}u \end{aligned}\]再令 $u=v/\sqrt{2}$，可以得到
\[\begin{aligned} \Gamma(\dfrac12) &=\dfrac1{\sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-(v^2/2)}\mathrm{d}v\\ &=\sqrt{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-(v^2/2)}\mathrm{d}v\\ \label{gamma12} \end{aligned}\]上式中 $(1/\sqrt{2\pi})\int^{\infty}_{-\infty}e^{-(v^2/2)}\mathrm{d}v$ 是 $v\sim N(0,1)$ 密度函数在整个实数域的积分，其值为1，故可以得到 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$。
（Ⅲ）根据定义式(1-1)，以及函数分部积分公式，有
\[\begin{aligned} \Gamma(x+1)&=\int^{\infty}_0e^{-t}t^{x}\mathrm{d}t=-\int^{\infty}_0t^{x}\mathrm{d}e^{-t}\\ &=t^{x}e^{-t}\Big|_0^{\infty}+x\int^{\infty}_0e^{-t}t^{x-1}\mathrm{d}t=0+x\Gamma(x)\\ &=x\Gamma(x) \end{aligned}\]于是，可以得到 $\Gamma$ 函数重要的递推公式：$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$
根据计算出的 $\Gamma(1)$ 和 $\Gamma(1/2)$ 的值，可以得出当 $n$ 为正整数时 $\Gamma(n)$ 和 $\Gamma(n/2)$ 的值，分别为
\[\begin{aligned} \Gamma(n)&=(n-1)!\qquad &n为正整数\\ \Gamma(n/2)&=1\cdot3\cdot5\cdots(n-2)2^{-(n-1)/2}\sqrt{\pi} &n为奇数\\ \end{aligned}\]Beta function
$\mathrm{B}$ 函数（读作Beta函数）$\mathrm{B}(x,y)$，通过积分
\[\mathrm{B}(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm{d}t\qquad(x\gt0,y\gt0)\]来定义。此积分在 $x\gt0$ 且 $y\gt0$ 时有意义。
The relation between Gamma function and Beta function
$\Gamma$ 函数与 $\mathrm{B}$ 函数之间有着重要的关系式：
\[\mathrm{B}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]Reference
[1] 概率论与数理统计. 陈希孺编著. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2009.2(2019.8重印).