Matrix and its Relation to Linear Transformation
变换(transformation)实际上可以看作是一种函数(function)，它接收一个向量，对其进行运算后输出一个向量。
但是，“变换(transformation)”这个词隐含着“运动(movement)”的含义。可以想象在空间中的一个向量经过线性变换后移动到了另一个位置。
而线性变换(linear transformation)则是一种特殊类型的变换，这种变换具有以下两条性质：
- Lines remain lines：直线在变换后仍然是直线，不能有所弯曲；
- Origin remains fixed：原点必须保持固定（例如仿射变换(Affine Transformation)不满足这个要求）；
即，线性变换就是“保持网格线平行且等距分布(Grid lines remain parallel and evenly spaced)”的变换，并且在变换过程中原点的位置保持不动。
实际上，线性变换具有的“网格线在变换前后保持平行且等距分布”的特性有一个重要的推论：
向量$\vec{v}$可以由空间中的一组基的线性组合来表示；线性变换改变了基向量的位置，但是并不改变基的线性组合。
以二维向量为例，设在标准正交基$\hat{i}=(1,0)$和$\hat{j}=(0,1)$下，向量$\vec{v}$的坐标为$(2,3)$，即
\[\vec{v}=2\times(1,0)+3\times(0,1)=(2,3)\]假设有一个线性变换使得基底$\hat{i}$和$\hat{j}$变换为\(\hat{i}_{transformed}=(1,0)\) 和 \(\hat{j}_{transformed}=(-1,1)\)，则变换后的向量
\[\vec{v}_{transformed}=2\times(1,0)+3\times(-1,1)=(-1,3)\]
也就是说，我们只需要根据变换后的 \(\hat{i}_{transformed}\) 和 \(\hat{j}_{transformed}\)，就能推断出变换后 \(\vec{v}_{transformed}\) 的位置。
因此，一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，即变换后的$\hat{i}$的两个坐标和变换后的$\hat{j}$的两个坐标。我们将这些基向量的坐标以列的形式放入到一个2 $\times$ 2的格子中，就得到了一个2 $\times$ 2矩阵。
\[A =\begin{bmatrix} 1&-1\\ 0&1\\ \end{bmatrix}\]而矩阵A与原向量$\vec{v}$相乘，按照矩阵乘法的定义
\[A \vec{v}=\begin{bmatrix} 1&-1\\ 0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}= 2\times\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+ 3\times\begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1\\ 3 \end{bmatrix}\tag{1}\]得到的结果与对向量$\vec{v}$线性变换的结果是一致的。而式(1)中的计算过程也体现了线性变换“先缩放基向量后相加”的思想。
所以，矩阵这个记号，实际上包含了描述一个线性变换的所有的信息，它的每一列就是线性变换后基向量的坐标，而矩阵向量乘法就表示这些基向量的线性组合。
同样地，从一个矩阵出发，我们也可以想象出它所对应的线性变换是什么样子的。
Conclusion
（1）线性变换就是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，且保持坐标原点不动；
（2）矩阵是描述线性变换的一种方式，矩阵的列向量就是变换后的基向量的坐标，矩阵向量乘法就表示这些基向量的线性组合；
（3）矩阵向量乘法就是计算特定线性变换作用于给定向量的一种途径；
（4）每看到一个矩阵，都可以把它解读为对空间的一种特定的线性变换。
References
[1] Linear transformations and matrices - Chapter 3, Essence of linear algebra - YouTube.